Túc Dụ sinh ngày 10 tháng 8 năm 1907 tại huyện Hội đồng, tỉnh Hồ Nam trong một gia đình thuộc tộc người Động, nhưng ông xem bản thân là người Hán. Ông là người con thứ ba trong số sáu anh chị em ruột. Cha của Túc Dụ là Túc Chu Hanh (粟周亨), mẹ ông là Lương Mãn Muội (梁满妹), và gia đình phụ thuộc vào 30 mẫu đất nông nghiệp được thừa hưởng để sống sót. Năm 18 tuổi, Túc Dụ theo học Trường Sư phạm số 2 tỉnh Hồ Nam ở Thường Đức, cấp giáo dục sau trung học của ông.